\documentclass[handout]{slide}


\renewcommand{\mytitle}{第八章\quad 向量代数与空间解析几何}

\renewcommand{\mysubtitle}{第一节\quad 向量的概念及其运算}
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\begin{document}


\begin{frame}{}
在平面解析几何中, 通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来, 把平面上的图形和方程对应起来, 从而可以用代数方法来研究几何问题. 空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的.

\pause
正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样, 空间解析几何的知识对学习多元函数微积分也是必要的.


\pause
本章先引进向量的概念, 根据向量的线性运算建立空间坐标系, 然后利用坐标讨论向量的运算,并介绍空间解析几何的有关内容.
\end{frame}



\section{向量的概念}

\begin{frame}{向量的概念}

\onslide<2->
  客观世界中有这样一类量， 它们既有大小， 又有方向， 例如位移、速度、加速度、力、力矩等，这一类量叫做\emph{向量} (或\emph{矢量})。

\onslide<4->
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \draw[->, thick, color=magenta] (0,0) node[below left] {$A$} -- (1.6,1) node[above right] {$B$};
    \end{tikzpicture}
\caption*{图 8-1}
\end{wrapfigure}

~

\onslide<3->
\mbox{在数学上，} 常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量。
有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。 
\onslide<4->
以 $A$ 为起点、 $B$ 为终点的有向线段所表示的向量记作 $\overrightarrow{A B}$ (图 8-1). 
\onslide<5->
有时也用一个黑体字母 (书写时， 在字母上面加箭头) 来表示向量，例如 $\symbf{a}, \symbf{r}, \symbf{v}, \symbf{F}$ 或 $\vec{a}, \vec{r}, \vec{v}, \vec{F}$ 等。

~

\onslide<6->
在实际问题中，有些向量与其起点有关 (例如质点运动的速度与该质点的位置有关，一个力与该力的作用点的位置有关), 有些向量与其起点无关。
\onslide<7->
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向， 因此在数学上我们只研究与起点无关的向量， 并称这种向量为自由向量 (以后简称向量), 即只考虑向量的大小和方向， 而不论它的起点在什么地方。当遇到与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别处理。
\end{frame}

\begin{frame}{向量的相等、模、夹角、平行、垂直、共线、公面}
\pause
  如果两个向量 $\symbf{a}$ 和 $\symbf{b}$ 的大小相等，且方向相同，我们就说向量 $\symbf{a}$ 和 $\symbf{b}$ 是\emph{相等}的， 记作 $\symbf{a}=\symbf{b}$. 
\pause
  这就是说， 经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。

\pause
  向量的大小叫做向量的\emph{模}。 
\pause
  向量 $\overrightarrow{A B}, \symbf{a}$ 和 $\vec{a}$ 的模依次记作 $|\overrightarrow{A B}|,|\symbf{a}|$ 和 $|\vec{a}|$. 
\pause
  模等于 $1$ 的向量叫做\emph{单位向量}。
\pause
  模等于零的向量叫做\emph{零向量}， 记作 $\symbf{0}$ 或 $\overrightarrow{0}$.
\pause
  零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。

  \pause
    \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
    %\includegraphics[max width=.2\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-02}
    \begin{tikzpicture}[thick]
      \coordinate[label=180:$O$] (O) at (0,0);
      \coordinate[label=0:$A$] (A) at (3,0);
      \coordinate[label=0:$B$] (B) at (2,2);
      \draw[->,color=green] (O) -- node[above] {$\symbf{b}$} (B);
      \draw[->,color=cyan] (O) -- node[below] {$\symbf{a}$} (A);
      \path (A) -- (O) -- (B) 
      pic [draw=magenta, angle radius=4mm, "$\varphi$", angle eccentricity=1.5] {angle=A--O--B};
    \end{tikzpicture}
\caption*{图 8-2}
\end{wrapfigure}

\pause
  设有两个非零向量 $\symbf{a}, \symbf{b}$,任取空间一点 $O$,作 $\overrightarrow{O A}=\symbf{a}$, $\overrightarrow{O B}=\symbf{b}$, 规定不超过 $\pi$ 的 $\angle A O B$ (设 $\varphi=\angle A O B, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$ )称为向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 的\emph{夹角} (图 8-2), 记作 $(\widehat{\symbf{a}, \symbf{b}})$ 或 $(\widehat{\symbf{b}, \symbf{a}})$,即 $(\widehat{\symbf{a}, \symbf{b}})=\varphi$. 
\pause
  如果向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 中有一个是零向量， 规定它们的夹角可以在 $0$ 到 $\pi$ 之间任意取值。


\pause
如果 $(\widehat{\symbf{a}, \symbf{b}})=0$ 或 $\pi$, 就称向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ \emph{平行}， 
\pause
  记作 $\symbf{a} / / \symbf{b}$. 
\pause
如果 $(\widehat{\symbf{a}, \symbf{b}})=\frac{\pi}{2}$, 就称向量 $\symbf{a}$与 $\symbf{b}$ \emph{垂直}，
\pause
  记作 $\symbf{a} \perp \symbf{b}$. 
\pause
由于零向量与另一向量的夹角可以在 $0$ 到 $\pi$ 之间任意取值， 因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直。

\pause
当两个平行向量的起点放在同一点时， 它们的终点和公共起点应在一条直线上。 
\pause
  因此，两向量平行， 又称两向量\emph{共线}。

\pause
类似还有向量共面的概念。 
\pause
  设有 $k$ ($k \geqslant 3$) 个向量， 当把它们的起点放在同一点时，如果 $k$ 个终点和公共起点在一个平面上， 就称这 $k$ 个向量\emph{共面}。

\end{frame}


\section{向量的线性运算}

\begin{frame}{向量的加法}
\onslide<2->
向量的加法运算规定如下：

\onslide<6->
设有两个向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$,任取一点 $A$, 作 $\overrightarrow{A B}=\symbf{a}$, 再以 $B$ 为起点， 作 $\overrightarrow{B C}=\symbf{b}$, 连接 $A C$ (图 8-3), 那么向量 $\overrightarrow{A C}=\symbf{c}$ 称为向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 的和， 记作 $\symbf{a}+\symbf{b}$, 即
$$
\symbf{c}=\symbf{a}+\symbf{b}
$$
\onslide<7->
上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则。
\onslide<8->
注意若$\symbf{a}//\symbf{b}$,
此三角形是退化的（塌缩一条线上）。

\onslide<3->
\begin{figure}
  \centering
  \begin{subfigure}[b]{.3\textwidth}
    %\includegraphics[max width=\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-02(1)}
\begin{tikzpicture}[->,thick]
  \onslide<3->{
    \draw[color=magenta]  (0,0) node[below] {$A$} -- node[below] {$\symbf{a}$} (2,0) node[below] {$B$};
  }
  \onslide<4->{
    \draw[color=orange] (2,0) -- node[below right] {$\symbf{b}$} (2.4,1.5) node[above] {$C$};
  }
  \onslide<5->{
    \draw[color=red] (0,0) -- node[above left] {$\symbf{a}+\symbf{b}$} (2.4,1.5);
  }
\end{tikzpicture}
\caption*{图 8-3}
\end{subfigure}
\hskip 4em
\onslide<10->
\begin{subfigure}[b]{.3\textwidth}
%\includegraphics[max width=\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-03}
  \begin{tikzpicture}[thick]
    \onslide<10->{
      \coordinate[label=-90:$A$] (A) at (0,0);
      \coordinate[label=-90:$B$] (B) at (2,0);
      \coordinate[label=90:$D$] (D) at (0.4,1.5);
      \draw[->,color=magenta]  (A) -- node[below] {$\symbf{a}$} (B);
      \draw[->,color=orange] (A) -- node[above left] {$\symbf{b}$} (D);
  }
  \onslide<11->{
    \coordinate[label=90:$C$] (C) at (2.4,1.5);
    \draw[dashed,color=orange] (D) -- (C);
    \draw[dashed,color=magenta] (B) -- (C);
  }
  \onslide<12->{
  \draw[->,red] (A) -- node[below right,xshift=-5pt] {$\symbf{a}+\symbf{b}$} (C);}
\end{tikzpicture}

\caption*{图 8-4}
\end{subfigure}
\end{figure}

\onslide<9->
力学上有求合力的平行四边形法则， 仿此， 我们也有向量相加的平行四边形法则。 
\onslide<13->
这就是： 当向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ \emph{不平行}时， 作 $\overrightarrow{A B}=\symbf{a}, \overrightarrow{A D}=\symbf{b}$, 以 $A B, A D$ 为边作一平行四边形
$A B C D$, 连接对角线 $A C$ (图 8-4), 显然向量 $\overrightarrow{A C}$ 即等于向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 的和 $\symbf{a}+\symbf{b}$.
\end{frame}

\begin{frame}

向量的加法符合下列运算规律：
\begin{enumerate}
  \item 交换律 $\symbf{a}+\symbf{b}=\symbf{b}+\symbf{a}$;
    \pause
  \item 结合律 $(\symbf{a}+\symbf{b})+\symbf{c}=\symbf{a}+(\symbf{b}+\symbf{c})$.
\end{enumerate}
\pause
这是因为， 按向量加法的规定 (三角形法则), 从图 8-4 可见：
$$
\begin{aligned}
  \symbf{a}+\symbf{b}&= \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C}=
  \symbf{ b}+\symbf{a}.
\end{aligned}
$$
所以符合交换律。 
\pause
又如图 8-5 所示， 先作 $\symbf{a}+\symbf{b}$ 再加上 $\symbf{c}$, 即得和 $(\symbf{a}+\symbf{b})+\symbf{c}$, 若以 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}+\symbf{c}$相加，则得同一结果，所以符合结合律。

\pause
  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[max width=.2\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-03(1)}
\caption*{图 8-5}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
由于向量的加法符合交换律与结合律， 故 $n$ 个向量 $\symbf{a}_{1}, \symbf{a}_{2}, \cdots, \symbf{a}_{n} \quad(n \geqslant 3)$ 相加可写成
$$
\symbf{a}_{1}+\symbf{a}_{2}+\cdots+\symbf{a}_{n},
$$
并按向量相加的三角形法则， 可得 $n$ 个向量相加的法则如下： 以前一向量的终点作为次一向量的起点， 相继作向量 $\symbf{a}_{1}, \symbf{a}_{2}, \cdots, \symbf{a}_{n}$, 再以第一个向量的起点为起点， 最后一个向量的终点为终点作一向量， 这个向量即为所求的和。如图 8-6 所示， 有
$$
\symbf{s}=\symbf{a}_{1}+\symbf{a}_{2}+\symbf{a}_{3}+\symbf{a}_{4}+\symbf{a}_{5} .
$$

  \begin{figure}[h]
    \centering
\includegraphics[max width=.2\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-03(2)}
\caption*{图 8-6}
\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}{向量的减法}
\onslide<2->
  设 $\symbf{a}$ 为一向量， 与 $\symbf{a}$ 的模相同而方向相反的向量叫做 $\symbf{a}$ 的\emph{负向量}， 记作 $-\symbf{a}$. 
  \onslide<3->
  由此，我们规定两个向量 $\symbf{b}$ 与 $\symbf{a}$ 的差
$$
\symbf{b}-\symbf{a}=\symbf{b}+(-\symbf{a})
$$
即把向量 $-\symbf{a}$ 加到向量 $\symbf{b}$ 上，便得 $\symbf{b}$ 与 $\symbf{a}$ 的差 $\symbf{b}-\symbf{a}$ (图 8-7(a)).
\onslide<4->
特别地， 当 $\symbf{b}=\symbf{a}$ 时， 有
$$
\symbf{a}-\symbf{a}=\symbf{a}+(-\symbf{a})=0 .
$$
\onslide<5->
而且 $(\symbf{b}-\symbf{a})+\symbf{a}=\symbf{b}$, 因而减法是加法的逆运算。
\onslide<6->
显然，任给向量 $\overrightarrow{A B}$ 及点 $O$, 有
$$
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}
$$
\onslide<7->
因此，若把向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 移到同一起点 $O$, 则从 $\symbf{a}$ 的终点 $A$ 向 $\symbf{b}$ 的终点 $B$ 所引向量 $\overrightarrow{A B}$ 便
是向量 $\symbf{b}$ 与 $\symbf{a}$ 的差 $\symbf{b}-\symbf{a}$ (图 8-7(b)).

  \begin{figure}[h]
    \centering
    \onslide<3->
    \begin{subfigure}{.28\textwidth}
      \includegraphics[max width=\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-04}
      \caption*{(a)}
      \end{subfigure}
    \hskip 5em
  \onslide<7->
  \begin{subfigure}{.25\textwidth}
      \includegraphics[max width=\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-04(1)}
      \caption*{(b)}
    \end{subfigure}
  \onslide<3->
  \caption*{图 8-7}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}{三角形不等式}
\pause
由三角形两边之和大于第三边， 有
$$
|\symbf{a}+\symbf{b}| \leqslant|\symbf{a}|+|\symbf{b}|\quad 
\pause
  \text { 及 }\quad|\symbf{a}-\symbf{b}| \leqslant|\symbf{a}|+|\symbf{b}| \text {, }
$$
\pause
其中等号分别在 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 同向、反向时成立。
\end{frame}


\begin{frame}{向量与数的乘法}
\pause
向量 $\symbf{a}$ 与实数 $\lambda$ 的乘积记作 $\lambda \symbf{a}$, 规定 $\lambda \symbf{a}$ 是一个向量，
\pause
它的模
$$
|\lambda \symbf{a}|=|\lambda||\symbf{a}|,
$$
\pause
它的方向当 $\lambda>0$ 时与 $\symbf{a}$ 相同， 当 $\lambda<0$ 时与 $\symbf{a}$ 相反。

\pause
当 $\lambda=0$ 时， $|\lambda \symbf{a}|=0$, 即 $\lambda \symbf{a}$ 为零向量， 这时它的方向可以是任意的。

\pause
特别地，当 $\lambda= \pm 1$ 时，有
$$
1 \symbf{a}=\symbf{a}, \quad (-1) \symbf{a}=-\symbf{a} .
$$

\pause
向量与数的乘积符合下列运算规律：
\begin{enumerate}
\item 结合律 $\lambda(\mu \symbf{a})=\mu(\lambda \symbf{a})=(\lambda \mu) \symbf{a}$.
\pause
\item 分配律
$$
\begin{aligned}
& (\lambda+\mu) \symbf{a}=\lambda \symbf{a}+\mu \symbf{a}, \\
& \lambda(\symbf{a}+\symbf{b})=\lambda \symbf{a}+\lambda \symbf{b} .
\end{aligned}
$$
\end{enumerate}
\pause
我们来验证下结合律。
由向量与数的乘积的规定可知， 向量 $\lambda(\mu \symbf{a}), \mu(\lambda \symbf{a}),(\lambda \mu) \symbf{a}$ 都是平行的向量， 它们的方向也是相同的， 而且
$$
|\lambda(\mu \symbf{a})|=|\mu(\lambda \symbf{a})|=|(\lambda \mu) \symbf{a}|=|\lambda \mu||\symbf{a}|,
$$
\pause
所以
$$
\lambda(\mu \symbf{a})=\mu(\lambda \symbf{a})=(\lambda \mu) \symbf{a} .
$$

\pause
向量相加及数乘向量统称为向量的\emph{线性运算}。

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
  在平行四边形 $A B C D$ 中， 设 $\overrightarrow{A B}=\symbf{a}, \overrightarrow{A D}=\symbf{b}$. 试用 $\symbf{a}$ 和 $\symbf{b}$ 表示向量 $\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}, \overrightarrow{M C}$和 $\overrightarrow{M D}$, 这里 $M$ 是平行四边形对角线的交点 (图 8-8).
\end{example}

\onslide<2->
\begin{proof}
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\textwidth}
\onslide<3->
由于平行四边形的对角线互相平分， 所以
$$
\symbf{a}+\symbf{b}=\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A M}
$$
\onslide<4->
即
$$
-(\symbf{a}+\symbf{b})=2 \overrightarrow{M A}
$$
\onslide<5->
于是
$$
\overrightarrow{M A}=-\frac{1}{2}(\symbf{a}+\symbf{b})
$$
\onslide<6->
因为 $\overrightarrow{M C}=-\overrightarrow{M A}$, 所以 $\overrightarrow{M C}=\frac{1}{2}(\symbf{a}+\symbf{b})$.
\onslide<7->
又因 $-\symbf{a}+\symbf{b}=\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{M D}$, 所以 $\overrightarrow{M D}=\frac{1}{2}(\symbf{b}-\symbf{a})$.
\onslide<8->
由于 $\overrightarrow{M B}=-\overrightarrow{M D}$, 所以 $\overrightarrow{M B}=\frac{1}{2}(\symbf{a}-\symbf{b})$.
\end{column}

\begin{column}{0.28\textwidth}
  \onslide<2->
  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[max width=\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-05}
\caption*{图 8.8}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}


\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}

  前面已经讲过，模等于 $1$ 的向量叫做\emph{单位向量}。
  \pause
  设 $\symbf{e}_{\symbf{a}}$ 表示与非零向量 $\symbf{a}$ 同方向的单位向量， 那么按照向量与数的乘积的规定， 由于 $|\symbf{a}|>0$, 所以 $|\symbf{a}| \symbf{e}_{\symbf{a}}$ 与 $\symbf{e}_{\symbf{a}}$ 的方向相同，即 $|\symbf{a}| \symbf{e}_{\symbf{a}}$ 与 $\symbf{a}$ 的方向相同。
  \pause
  又因 $|\symbf{a}| \symbf{e}_{\symbf{a}}$ 的模是
$$
|\symbf{a}|\left|\symbf{e}_{\symbf{a}}\right|=|\symbf{a}| \cdot 1=|\symbf{a}|,
$$
\pause
即 $|\symbf{a}| \symbf{e}_{\symbf{a}}$ 与 $a$ 的模也相同， 因此，
$$
\symbf{a}=|\symbf{a}| \symbf{e}_{\symbf{a}} .
$$

\pause
我们规定， 当 $\lambda \neq 0$ 时， $\frac{\symbf{a}}{\lambda}=\frac{1}{\lambda} \symbf{a}$. 由此， 上式又可写成
$$
\frac{\symbf{a}}{|\symbf{a}|}=\symbf{e}_{\symbf{a}} .
$$
\pause
这表示一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量。
\end{frame}

\begin{frame}
由于向量 $\lambda a$ 与 $a$ 平行，因此我们常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系。即有
\pause
\begin{theorem*}
  设向量 $\symbf{a} \neq 0$, 则向量 $\symbf{b}$ 平行于 $\symbf{a}$ 的充分必要条件是：
    存在唯一的实数 $\lambda$,使 $\symbf{b}=\lambda \symbf{a}$.
\end{theorem*}
\pause
\begin{proof}
条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性。

\pause
设 $\symbf{b} / / \symbf{a}$. 取 $|\lambda|=\frac{|\symbf{b}|}{|\symbf{a}|}$, 当 $\symbf{b}$ 与 $\symbf{a}$ 同向时 $\lambda$ 取正值， 当 $\symbf{b}$ 与 $\symbf{a}$ 反向时 $\lambda$ 取负值， 即有 $\symbf{b}=\lambda \symbf{a}$. 
\pause
这是因为此时 $\symbf{b}$ 与 $\lambda \symbf{a}$ 同向，且
$$
|\lambda \symbf{a}|=|\lambda||\symbf{a}|=\frac{|\symbf{b}|}{|\symbf{a}|}|\symbf{a}|=|\symbf{b}|
$$

\pause
再证数 $\lambda$ 的唯一性。 设 $\symbf{b}=\lambda \symbf{a}$, 又设 $\symbf{b}=\mu \symbf{a}$, 两式相减， 便得
$$
(\lambda-\mu) \symbf{a}=0,
$$
\pause
即 $|\lambda-\mu||\symbf{a}|=0$. 因 $|\symbf{a}| \neq 0$, 故 $|\lambda-\mu|=0$, 即 $\lambda=\mu$.

定理证毕。
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}

  \onslide<3->
  \begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \onslide<3->{
      \filldraw (0,0) circle [radius=1.5pt];
      \draw  (0,0) node [below] {$O$};
      \draw [->, thick] (-.5,0) -- (1,0) node [below] {$\symbf{i}$} node [above] {$1$};
      \draw [->, thick] (1,0) -- (3.5,0) node [below] {$x$};
    }
    \onslide<4->{
      \filldraw (2,0) circle [radius=1.5pt];
      \draw  (2,0) node [below] {$P$} node [above] {$x$};
    }
    \end{tikzpicture}
\caption*{图 8-9}
\end{figure}
\onslide<1->
  上述定理是建立数轴的理论依据。 我们知道， 给定一个点、一个方向及单位长度， 就确定了一条数轴。
\onslide<2->
  由于一个单位向量既确定了方向， 又确定了单位长度， 因此， 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴。
\onslide<3->
  设点 $O$ 及单位向量 $\symbf{i}$ 确定了数轴 $O x$ (图 8-9), 
\onslide<4->
  对于轴上任一点 $P$, 对应一个向量 $\overrightarrow{O P}$, 由于 $\overrightarrow{O P} / / i$, 根据定理 1 , 必有唯一的实数 $x$, 使 $\overrightarrow{O P}=x \symbf{i}$ (实数 $x$ 叫做轴上怎向线段 $\overrightarrow{O P}$ 的值), 并知 $\overrightarrow{O P}$ 与实数 $x$ 一一对应。
\onslide<5->
  于是
$$
\text { 点 } P \longleftrightarrow \text { 向量 } \overrightarrow{O P}=x \symbf{i} \longleftrightarrow \text { 实数 } x \text {, }
$$
从而轴上的点 $P$ 与实数 $x$ 有一一对应的关系。
\onslide<6->
据此， 定义实数 $x$ 为轴上点 $P$ 的坐标。


\onslide<7->
由此可知， 轴上点 $P$ 的坐标为 $x$ 的充分必要条件是
$$
\overrightarrow{O P}=x \symbf{i}.
$$
\end{frame}



\section{空间直角坐标系}

\begin{frame}{直角坐标系的坐标轴、坐标面、卦限}
\onslide<2->
  在空间取定一点 $O$ 和三个两两垂直的单位向量 $\symbf{i}, \symbf{j}, \symbf{k}$, 就确定了三条都以 $O$ 为原点的两两垂直的数轴， 依次记为 $x$ 轴 (横轴) 、 $y$ 轴 (纵轴) 、 $z$ 轴 (坚轴), 统称\emph{坐标轴}。
\onslide<3->
  它们构成一个空间直角坐标系，称为 $O x y z$ 坐标系或 $[O ; \symbf{i}, \symbf{j}, \symbf{k}]$ 坐标系 (图 8-10). 
\onslide<4->
通常把 $x$ 轴和 $y$ 轴配置在水平面上， 而 $z$ 轴则是铅垂线; 它们的正向通常符合右手规则， 
%即以右手握住 $z$ 轴， 当右手的四个手指从 $x$ 轴正向以 $\frac{\pi}{2}$ 角度转向 $y$ 轴正向时， 大拇指的指向就是 $z$ 轴的正向，
如图 8-11 所示。

  \begin{figure}
    \centering
    \onslide<3->
    \begin{subfigure}[b]{.23\textwidth}
\includegraphics[max width=\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-06(1)}
\caption*{图 8-10}
\end{subfigure}
\hspace{3em}
\onslide<4->
\begin{subfigure}[b]{.22\textwidth}
%\includegraphics[max width=\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-06}
\begin{tikzpicture}[scale=.3]
  \coordinate (O) at (1.0,0.7); % ORIGIN
  \coordinate (WT) at ( 2.9,-1.1); % WRIST TOP
  \coordinate (T1) at ( 2.3, 0.7); % THUMB
  \coordinate (T2) at ( 1.75, 2.3);
  \coordinate (T3) at ( 2.0, 3.1);
  \coordinate (T4) at (1.38, 3.15);
  \coordinate (T5) at ( 0.9, 2.3);
  \coordinate (T6) at ( 0.85, 1.2);
  \coordinate (T7) at ( 0.85, 0.2);
  \coordinate (I1) at (-1.1, 2.45); % INDEX
  \coordinate (I2) at (-2.9, 3.45);
  \coordinate (I3) at (-3.3, 2.9);
  \coordinate (I4) at (-1.5, 1.8);
  \coordinate (I5) at (-0.9, 1.1);
  \coordinate (I6) at (-0.9, 0.3);
  \coordinate (M1) at (-2.1, 0.9); % MIDDLE
  \coordinate (M2) at (-3.95,0.55);
  \coordinate (M3) at (-4.0,-0.15);
  \coordinate (M4) at (-2.3, 0.05);
  \coordinate (M5) at (-1.1, 0.20);
  \coordinate (R1) at (-1.9,-0.1); % RING
  \coordinate (R2) at (-1.8,-0.7);
  \coordinate (R3) at (-0.3,-1.5);
  \coordinate (R4) at ( 0.1,-1.7);
  \coordinate (R5) at ( 0.1,-1.0);
  \coordinate (R6) at (-0.5,-0.7);
  \coordinate (R7) at (-1.2,-0.3);
  \coordinate (P1) at (-1.9,-1.3); % PINKY
  \coordinate (P2) at (-0.8,-1.9);
  \coordinate (P3) at (-0.2,-2.1);
  \coordinate (P4) at (-0.05,-1.65);
  \coordinate (W1) at ( 0.4,-2.9); % WRIST BOTTOM
  \coordinate (W2) at ( 1.6,-3.5);
  
  % HAND
  \fill[pink!25]
    (WT) -- (T6) -- (I5) -- (M5) -- (R2) -- (P2) -- (W2) to[out=25,in=-90] cycle;
  \draw[fill=pink!25]
    (WT) to[out=120,in=-60] % THUMB
    (T1) to[out=120,in=-90]
    (T2) to[out=80,in=-110]
    (T3) to[out=80,in=50,looseness=1.5] % tip
    (T4) to[out=-130,in=80]
    (T5) to[out=-100,in=70]
    (T6) to[out=-100,in=100]
    (T7)
    (T6) to[out=150,in=-30] % INDEX
    (I1) to[out=150,in=-30]
    (I2) to[out=150,in=145,looseness=1.7] % tip
    (I3) to[out=-30,in=150]
    (I4) to[out=-30,in=105]
    (I5) to[out=-75,in=90]
    (I6)
    (I5) to[out=-170,in=10] % MIDDLE
    (M1) to[out=-170,in=10]
    (M2) to[out=-170,in=-175,looseness=1.8] % tip
    (M3) to[out=5,in=-170]
    (M4) to[out=10,in=-170] % bottom knuckle
    (M5)
    (M5) to[out=-160,in=50] % RING
    (R1) to[out=-130,in=140,looseness=1.2]
    (R2) to[out=-30,in=160]
    (R3) --
    (R4) to[out=-20,in=-20,looseness=1.5] % tip
    (R5) --
    (R6) to[out=140,in=8,looseness=0.9]
    (R7)
    (R2) to[out=-160,in=155] % PINKY
    (P1) to[out=-35,in=150]
    (P2) to[out=-30,in=160]
    (P3) to[out=-20,in=-30,looseness=1.5] % tip
    %(P4) --
    (R4)
    (P2) to[out=-50,in=140] % WRIST
    (W1) to[out=-40,in=160]
    (W2);
  
  % FOLDS
  \draw[very thin] (T5)++(-80:0.3) to[out=40,in=180]++ (25:0.45); % THUMB
  \draw[very thin] (I1)++(180:0.2) to[out=-160,in=90]++ (-130:0.6); % INDEX
  \draw[very thin] (I1)++(155:1.3) to[out=-150,in=80]++ (-130:0.55);
  \draw[very thin] (M4)++(30:0.2) to[out=80,in=-65]++ (95:0.5); % MIDDLE FINGER
  \draw[very thin] (M3)++(10:0.8) to[out=80,in=-75]++ (90:0.45);
  \draw[very thin] (M5)++(-140:0.1) to[out=-20,in=90]++ (-54:0.8); % RING
  \draw[very thin] (R6) to[out=160,in=10]++ (180:0.2);
  \draw[very thin] (R3)++(155:0.5) to[out=120,in=-100]++ (100:0.2);
  \draw[very thin] (P2)++(140:0.1) to[out=95,in=-110]++ (80:0.4); % PINKY
  %\draw[very thin] (P1)++( 10:0.04) to[out=95,in=-130]++ (70:0.4);
  \draw[very thin] (I5)++(-40:0.45) to[out=-70,in=90]++ (-70:1.7);    % PALM
  \draw[very thin] (P3)++(-155:0.05) to[out=-120,in=40]++ (-130:0.2); % PALM
  \draw[very thin] (W2)++(70:1.4) to[out=-175,in=-40]++ (160:1.4); % PALM
  
  % VECTORS
  \def\R{0.32}
  \draw[->,thick]
  (O) --++ (148:3.3) coordinate (X) node[above] {$x$};
  \draw[thick,<->]
  (O) ++ (-172:3.25) coordinate (Y) node[left] {$y$} --
  (O) --++ (82:3.2) node[above] {$z$};
    \draw pic[->,>=Classical TikZ Rightarrow,draw=black,thick,angle radius=10] {angle = X--O--Y};
\end{tikzpicture}
\caption*{图 8-11}
   \end{subfigure}
\hspace{3em}
\onslide<7->
\begin{subfigure}[b]{.22\textwidth}
\includegraphics[max width=\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-07(1)}
\caption*{图 8-12}
\end{subfigure}
\end{figure}

\onslide<5->
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面， 这样定出的三个平面统称为\emph{坐标面}。
\onslide<6->
$x$ 轴及 $y$ 轴所确定的坐标面叫做 $x O y$ 面，另两个由 $y$ 轴及 $z$ 轴和由 $z$ 轴及 $x$ 轴所确
定的坐标面，分别叫做 $y O z$ 面及 $z O x$ 面。
\onslide<7->
三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个\emph{卦限}。 其中， 在 $x O y$ 面上方且 $y O z$ 面前方 $z O x$ 面右方的那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四卦限， 在 $x O y$ 面的上方， 按\emph{逆时针}方向确定。 
\onslide<8->
第五至第八卦限， 在 $x O y$ 面的下方， 由第一卦限之下的第五卦限， 按逆时针方向确定。
\onslide<9->
这八个卦限分别用字母 I , II , III , IV, V , VI, VII, VIII表示(图 8-12).
\end{frame}

\begin{frame}

任给向量 $\symbf{r}$, 有对应点 $M$, 使 $\overrightarrow{O M}=\symbf{r}$. 
\onslide<2->
以 $O M$ 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 $R H M K-O P N Q$,如图 8-13 所示， 
\onslide<3->
有
$$
\symbf{r}=\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{N M}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}+\overrightarrow{O R}
$$
\onslide<4->
设 $\overrightarrow{O P}=x\symbf{ i}, \overrightarrow{O Q}=y \symbf{j}, \overrightarrow{O R}=z \symbf{k}$, 则
$$
\symbf{r}=\overrightarrow{O M}=x \symbf{i}+y \symbf{j}+z \symbf{k}
$$
\onslide<5->
上式称为向量 $\symbf{r}$ 的\emph{坐标分解式}，
\onslide<6->
$x \symbf{i}, y \symbf{j}$ 和 $z \symbf{k}$ 称为向量 $\symbf{r}$ 沿三个坐标轴方向的分向量。

\onslide<1->
  \begin{figure}[h]
    \centering
    %\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-07}
    \begin{tikzpicture}
      \onslide<1->{
      \draw [dashed] (0,0) node[anchor=south east] {$O$} -- (0,2);
    \draw [->] (0,2) -- (0,2.5) node[anchor=east] {$z$};
      \draw [dashed] (0,0) -- (3,0);
      \draw [->] (3,0) -- (3.5,0) node[anchor=north] {$y$};
      \draw [dashed,->] (0,0) -- (1,.6) node[below] {$\symbf{r}$} -- (2,1.2) node[anchor=north west] {$M$};
      \draw [dashed] (0,0) -- (-1,-0.8);
        \draw [->] (-1,-.8) -- (-1.5,-1.2) node[anchor=north west] {$x$};
      }
      \onslide<2->{
        \draw [thick] (0,2) node[anchor=south west] {$R$} -- (3,2) --(2,1.2) -- (-1,1.2) node[left] {$H$} -- (0,2)
        (3,2) node[right] {$K$} -- (3,0) node[anchor=south west] {$Q$} -- (2,-.8) node[below] {$N$} -- (2,1.2) 
        (-1, 1.2) -- ( -1,-.8) node[below] {$P$} -- (2,-.8);
      }
    \end{tikzpicture}
\caption*{图 8-13}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

显然， 给定向量 $\symbf{r}$, 就确定了点 $M$ 及 $\overrightarrow{O P}, \overrightarrow{O Q}, \overrightarrow{O R}$ 三个分向量， 进而确定了 $x, y, z$ 有序数组; 
\pause
反之， 给定有序数组 $x, y, z$, 也就确定了向量 $\symbf{r}$ 与点 $M$. 
\pause
于是点 $M$ 、向量 $\symbf{r}$ 与有序数组 $x, y, z$ 之间有一一对应的关系
$$
M \longleftrightarrow \symbf{r}=\overrightarrow{O M}=x \symbf{i}+y \symbf{j}+z \symbf{k} \longleftrightarrow(x, y, z),
$$

\pause
据此， 定义： 有序数组 $x, y, z$ 称为向量 $\symbf{r}$ (在坐标系 $O x y z$ 中) 的\emph{坐标}， 记作 $\symbf{r}=(x, y, z)$; 
\pause
有序数组 $x, y, z$ 也称为点 $M$ (在坐标系 $O x y z$ 中) 的\emph{坐标}， 记作 $M(x, y, z)$.

\pause
向量 $r=\overrightarrow{O M}$ 称为点 $M$ 关于原点 $O$ 的\emph{向径}。 
\pause
上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标。 记号 $(x, y, z)$ 既表示点 $M$, 又表示向量 $\overrightarrow{O M}$.

~

\pause
坐标面上和坐标轴上的点， 其坐标各有一定的特征。
\pause
例如： 如果点 $M$ 在 $y O z$ 面上，那么 $x=0$; 同样， 在 $z O x$ 面上的点， 有 $y=0$; 在 $x O y$ 面上的点， 有 $z=0$. 
\pause
如果点 $M$ 在 $x$ 轴上， 那么 $y=z=0$; 同样， 在 $y$ 轴上的点， 有 $z=x=0$; 在 $z$ 轴上的点， 有 $x=y=0$. 若点 $M$ 为
原点， 则 $x=y=z=0$.
\end{frame}

\section{利用坐标作向量的线性运算}

\begin{frame}{向量的线性运算是对坐标的运算}
\pause
利用向量的坐标， 可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：
\pause
设 $\symbf{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right), \symbf{b}=\left(b_{x}, b_{y}, b_{z}\right)$ ，即
$$
\symbf{a} =a_{x} \symbf{i} +a_{y} \symbf{j} +a_{z} \symbf{k}, \quad \symbf{b}=b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k} .
$$
\pause
利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律， 有
$$
\begin{aligned}
\symbf{a}+\symbf{b} & =\left(a_{x}+b_{x}\right) \symbf{i}+\left(a_{y}+b_{y}\right) \symbf{j}+\left(a_{z}+b_{z}\right) \symbf{k}, \\
\pause
\symbf{a}-\symbf{b} & =\left(a_{x}-b_{x}\right) \symbf{i}+\left(a_{y}-b_{y}\right) \symbf{j}+\left(a_{z}-b_{z}\right) \symbf{k}, \\
\pause
\lambda \symbf{a} & =\left(\lambda a_{x}\right) \symbf{i}+\left(\lambda a_{y}\right) \symbf{j}+\left(\lambda a_{z}\right) \symbf{k} \qquad (\text{其中 $\lambda$ 为实数}), 
\end{aligned}
$$
即
$$
\begin{aligned}
\symbf{a}+\symbf{b} & =\left(a_{x}+b_{x}, a_{y}+b_{y}, a_{z}+b_{z}\right), \\
\pause
\symbf{a}-\symbf{b} & =\left(a_{x}-b_{x}, a_{y}-b_{y}, a_{z}-b_{z}\right), \\
\pause
\lambda \symbf{a} & =\left(\lambda a_{x}, \lambda a_{y}, \lambda a_{z}\right) .
\end{aligned}
$$
\pause
由此可见， \emph{对向量进行加、减及与数相乘， 只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了}。

\end{frame}

\begin{frame}
定理 1 指出， 当向量 $\symbf{a} \neq \symbf{0}$ 时， 向量 $\symbf{b} / / \symbf{a}$ 相当于 $\symbf{b}=\lambda \symbf{a}$, 坐标表示式为
$$
\left(b_{x}, b_{y}, b_{z}\right)=\lambda\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right),
$$
\pause
这也就相当于向量 $\symbf{b}$ 与 $\symbf{a}$ 对应的坐标成比例
$$
\frac{b_{x}}{a_{x}}=\frac{b_{y}}{a_{y}}=\frac{b_{z}}{a_{z}}.
$$
\pause
此式理解为在分母等于$0$时相应的分子也等于$0$.

\pause
记号 $(x, y, z)$ 既可表示点 $M$, 又可表示向量 $\overrightarrow{O M}$,在几何中点与向量是两个不同的概念， 不可混淆。 因此， 在看到记号 $(x, y, z)$ 时， 须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量。 当 $(x, y, z)$ 表示向量时， 可对它进行运算; 当 $(x, y, z)$ 表示点时， 就不能进行运算。

\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{example}
  求解以向量为元的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
    5 \symbf{x}-3 \symbf{y}=\symbf{a} \\
    3 \symbf{x} -2 \symbf{y}=\symbf{b}
\end{array}\right.
$$
其中 $\symbf{a}=(2,1,2), \symbf{b}=(-1,1,-2)$.
\end{example}

\pause
  \begin{solution}
  如同解以实数为元的线性方程组一样， 可解得
$$
\symbf{x}=2 \symbf{a}-3 \symbf{b}, \quad\symbf{y}=3 \symbf{a}-5 \symbf{b}.
$$
\pause
将 $\symbf{a}, \symbf{b}$ 的坐标表示式代人，即得
$$
\begin{aligned}
  \symbf{x} &= 2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10), \\
\pause
 \symbf{y}&= 3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16) .
\end{aligned}
$$
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  已知两点 $A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 和 $B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 以及实数 $\lambda \neq-1$, 在直线 $A B$ 上求点 $M$,使
$
\overrightarrow{A M}=\lambda \overrightarrow{M B}.
$
点 $M$ 叫做有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 的 $\lambda$ 分点。
\end{example}
\pause
\begin{solution}

\begin{columns}
  \onslide<3->
\begin{column}{0.7\textwidth}
如图 8-14 所示。由于
$$
\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O M}
$$
\onslide<4->
因此
$$
\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O A}=\lambda(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O M})
$$
\onslide<5->
从而
$$
\overrightarrow{O M}=\frac{1}{1+\lambda}(\overrightarrow{O A}+\lambda \overrightarrow{O B})
$$
\onslide<6->
将 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$ 的坐标 (即点 $A$ 、点 $B$ 的坐标) 代人， 即得
$$
\overrightarrow{O M}=\left(\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda}, \frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda}, \frac{z_{1}+\lambda z_{2}}{1+\lambda}\right)
$$
这就是点 $M$ 的坐标。
\end{column}

\onslide<2->
\begin{column}{0.25\textwidth}
  \begin{figure}[h]
    \centering
\includegraphics[max width=\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-09}
\caption*{图 8-14}
  \end{figure}
\end{column}

\end{columns}


\end{solution}

\end{frame}

\section{向量的模、方向角、投影}


\begin{frame}{向量的模与两点间的距离公式}
\pause
设向量 $\symbf{r}=(x, y, z)$, 作 $\overrightarrow{O M}=\symbf{r}$, 如图 8-13 所示， 有
$$
\symbf{r} =\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}+\overrightarrow{O R}
$$
\pause
按勾股定理可得
$$
|\symbf{r}|=|O M|=\sqrt{|O P|^{2}+|O Q|^{2}+|O R|^{2}} .
$$
\pause
由 $\overrightarrow{O P}=x \symbf{i}, \overrightarrow{O Q}=y \symbf{j}, \overrightarrow{O R}=z \symbf{k}$, 有
$$
|O P|=|x|, \quad|O Q|=|y|, \quad|O R|=|z|,
$$
\pause
于是得向量模的坐标表示式
$$
|\symbf{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
$$

\pause
设有点 $A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$, 则点 $A$ 与点 $B$ 间的距离 $|A B|$ 就是向量 $\overrightarrow{A B}$的模。
\pause
由
$$
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)-\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\right)
$$
\pause
即得 $A, B$ 两点间的距离
$$
|A B|=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}} \text {. }
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
 求证以 $M_{1}(4,3,1), M_{2}(7,1,2), M_{3}(5,2,3)$ 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
 \end{example}
\pause
 \begin{solution}
 因为
 $$
 \begin{aligned}
   \left|M_{1} M_{2}\right|^{2}&= (7-4)^{2}+(1-3)^{2}+(2-1)^{2}=14, \\
\pause
\left|M_{2} M_{3}\right|^{2}&= (5-7)^{2}+(2-1)^{2}+(3-2)^{2}=6, \\
\pause
\left|M_{3} M_{1}\right|^{2}&= (4-5)^{2}+(3-2)^{2}+(1-3)^{2}=6,
 \end{aligned}
 $$
\pause
 所以 $\left|M_{2} M_{3}\right|=\left|M_{3} M_{1}\right|$, 即 $\vartriangle M_{1} M_{2} M_{3}$ 为等腰三角形。
 \end{solution}
 \end{frame}


\begin{frame}

 \begin{example}
  在 $z$ 轴上求与两点 $A(-4,1,7)$ 和 $B(3,5,-2)$ 等距离的点。
\end{example}

\begin{solution}
 因为所求的点 $M$ 在 $z$ 轴上， 所以设该点为 $M(0,0, z)$, 
\pause
 依题意有
 $$
 |M A|=|M B| \text {, }
 $$
\pause
 即
 $$
 \sqrt{(0+4)^{2}+(0-1)^{2}+(z-7)^{2}}=\sqrt{(3-0)^{2}+(5-0)^{2}+(-2-z)^{2}} .
 $$
\pause
 两边平方， 解得
 $$
 z=\frac{14}{9}
 $$
\pause
 因此， 所求的点为 $M\left(0,0, \frac{14}{9}\right)$.
 \end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}

  \begin{example}
  已知两点 $A(4,0,5)$ 和 $B(7,1,3)$, 求与 $\overrightarrow{A B}$ 方向相同的单位向量 $\symbf{e}_{\overrightarrow{A B}}$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
因为
$$
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2)
$$
\pause
所以
$$
|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{14},
$$
\pause
于是
$$
\symbf{e}_{\overrightarrow{A B}}=\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}=\frac{1}{\sqrt{14}}(3,1,-2)
$$
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}{方向角与方向余弦}

  \pause
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-11}
\caption*{图 8-15}
\end{wrapfigure}

\pause
非零向量 $\symbf{r}$ 与三条坐标轴的夹角 $\alpha, \beta, \gamma\in [0,\pi]$ 称为向量 $\symbf{r}$ 的\emph{方向角}。 
\pause
  从图 8-15 可见， 设 $\overrightarrow{O M}=\symbf{r}=(x, y, z)$, 
\pause
  由于 $x$ 是有向线段 $\overrightarrow{O P}$ 的值， $M P \perp O P$, 故
$$
\cos \alpha=\frac{x}{|O M|}=\frac{x}{|\symbf{r}|},
$$
\pause
类似可知
$$
\cos \beta=\frac{y}{|\symbf{r}|}, \quad \cos \gamma=\frac{z}{|\symbf{r}|} .
$$
\pause
从而
$$
(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\left(\frac{x}{|\symbf{r}|}, \frac{y}{|\symbf{r}|}, \frac{z}{|\symbf{r}|}\right)=\frac{1}{|\symbf{r}|}(x, y, z)=\frac{\symbf{r}}{|\symbf{r}|}=\symbf{e}_{r} .
$$

\pause
$\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 称为向量 $\symbf{r}$ 的\emph{方向余弦}。 
\pause
上式表明， 以向量 $\symbf{r}$ 的方向余弦为坐标的向量就是与 $\symbf{r}$ 同方向的单位向量 $\symbf{e}_{\symbf{r}}$. 
\pause
并由此可得
$$
\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1.
$$
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  已知两点 $M_{1}(2,2, \sqrt{2})$ 和 $M_{2}(1,3,0)$, 计算向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 的模、方向余弦和方向角。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
我们有
$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{M_{1} M_{2}}=(1-2,3-2,0-\sqrt{2})=(-1,1,-\sqrt{2}), \\
\pause
\left|\overrightarrow{M_{1} M_{2}}\right|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1+1+2}=\sqrt{4}=2 ; \\
\pause
\cos \alpha=-\frac{1}{2}, \quad \cos \beta=\frac{1}{2}, \quad \cos \gamma=-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \\
\pause
\alpha=\frac{2 \pi}{3}, \quad \beta=\frac{\pi}{3}, \quad \gamma=\frac{3 \pi}{4} .
\end{gathered}
$$
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
设点 $A$ 位于第 I 卦限， 向径 $\overrightarrow{O A}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的夹角依次为 $\frac{\pi}{3}$ 和 $\frac{\pi}{4}$, 且 $|\overrightarrow{O A}|=6$, 求点 $A$ 的坐标。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
$\alpha=\frac{\pi}{3}, \beta=\frac{\pi}{4}$. 
\pause
由关系式 $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1$, 得
$$
\cos ^{2} \gamma=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}
$$
\pause
因点 $A$ 在第 I 卦限， 知 $\cos \gamma>0$, 故
$$
\cos \gamma=\frac{1}{2}.
$$
\pause
于是
$$
\overrightarrow{O A}=|\overrightarrow{O A}| \symbf{e}_{\overrightarrow{O A}}=6\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)=(3,3 \sqrt{2}, 3)
$$
\pause
这就是点 $A$ 的坐标。
\end{solution}

\end{frame}

\begin{frame}{向量在轴上的投影}
\pause
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-12(1)}
\caption*{图 8-16}
\end{wrapfigure}

\pause
如果撇开 $y$ 轴和 $z$ 轴， 单独考虑 $x$ 轴与向量 $\symbf{r}=\overrightarrow{O M}$ 的关系， 
\pause
那么从图 8-15 可见，过点 $M$ 作与 $x$ 轴垂直的平面， 此平面与 $x$ 轴的交点即是点 $P$. 
\pause
作出点 $P$, 即得向量 $r$ 在 $x$轴上的分向量 $\overrightarrow{O P}$, 
\pause
进而由 $\overrightarrow{O P}=x i$, 便得向量在 $x$ 轴上的坐标 $x$, 
\pause
且 $x=|\symbf{r}| \cos \alpha$.

\pause
一般地， 设点 $O$ 及单位向量 $\symbf{e}$ 确定 $u$ 轴 (图 8-16). 
\pause
任给向量 $\symbf{r}$, 作 $\overrightarrow{O M}=\symbf{r}$, 
\pause
再过点 $M$ 作与 $u$ 轴垂直的平面交 $u$ 轴于点 $M^{\prime}$ (点 $M^{\prime}$ 叫做点 $M$ 在 $u$ 轴上的\emph{投影}), 
\pause
则向量 $\overrightarrow{O M^{\prime}}$ 称为向量 $\symbf{r}$ 在 $u$ 轴上的\emph{分向量}。 
\pause
设 $\overrightarrow{O M^{\prime}}=\lambda \symbf{e}$,则数 $\lambda$ 称为向量 $\symbf{r}$ 在 $u$轴上的\emph{投影}，
\pause
记作 $\operatorname{Prj}_{u} \symbf{r}$ 或 $(\symbf{r})_{u}$.

  \pause
按此定义， 向量 $\symbf{a}$ 在直角坐标系 $O x y z$ 中的坐标 $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ 就是 $\symbf{a}$ 在三条坐标轴上的投影，
\pause
即
$$
a_{x}=\operatorname{Prj}_{x} \symbf{a}, \quad a_{y}=\operatorname{Prj}_{y} \symbf{a}, \quad a_{z}=\operatorname{Prj}_{z} \symbf{a},
$$
\pause
或记作
$$
a_{x}=(\symbf{a})_{x}, \quad a_{y}=(\symbf{a})_{y}, \quad a_{z}=(\symbf{a})_{z}
$$

\pause
由此可知， 向量的投影具有与坐标相同的性质：

\pause
\textbf{性质 1}\quad $\operatorname{Prj}_{u} \symbf{a}=|\symbf{a}| \cos \varphi$ (即 $\left.(\symbf{a})_{u}=|\symbf{a}| \cos \varphi\right)$, 其中 $\varphi$ 为向量 $\symbf{a}$ 与 $u$ 轴的夹角;

\pause
 \textbf{性质 2}\quad    $\operatorname{Prj}_{u}(\symbf{a}+\symbf{b})=\operatorname{Prj}_{u} \symbf{a}+\operatorname{Prj}_{u} \symbf{b} \quad\left(\right.$ 即 $\left.(\symbf{a}+\symbf{b})_{u}=(\symbf{a})_{u}+(\symbf{b})_{u}\right)$;


\pause
 \textbf{性质 3}\quad   $\operatorname{Prj}_{u}(\lambda \symbf{a})=\lambda \operatorname{Prj}_{u} \symbf{a} \quad\left(\right.$ 即 $\left.(\lambda \symbf{a})_{u}=\lambda(\symbf{a})_{u}\right)$.
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
    设正方体的一条对角线为 $O M$,一条棱为 $O A$, 且 $|O A|=a$, 求 $\overrightarrow{O A}$ 在 $\overrightarrow{O M}$ 方向上的投影 $\operatorname{Prj}_{\overrightarrow{O M}} \overrightarrow{O A}$. 
    这里 向量 $\symbf{r}$ 在向量 $\symbf{a}$ ($\symbf{a} \neq 0$) 的方向上的投影 $\operatorname{Prj}_{\symbf{a}} \symbf{r}$ 是指 $\symbf{r}$ 在某条与 $\symbf{a}$ 同方向的轴上的投影。
 \end{example}

\onslide<2->
 \begin{solution}
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\textwidth}

\onslide<3->
  如图 8-17 所示， 记 $\angle M O A=\varphi$, 有
$$
\cos \varphi=\frac{|O A|}{|O M|}=\frac{1}{\sqrt{3}},
$$
\onslide<4->
于是
$$
\operatorname{Prj}_{\overrightarrow{O M}} \overrightarrow{O A}=|\overrightarrow{O A}| \cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{3}}.
$$
\end{column}

\onslide<2->
\begin{column}{0.3\textwidth}
  \begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[max width=.8\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-12}
\caption*{图 8-17}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{solution}

\end{frame}

\end{document}

